平等負荷で端から給電した場合
平等負荷で端から給電した場合
AB間の線路電圧降下\({ v }_{ AB }[V]\),AB間の線路電力損失\({ P }_{ AB }[W]\)を求めていきます。
手順① 負荷電流について
A地点からx[m]離れた負荷電流は
$$\frac { I }{ L } [A/m]$$
と表せます。(場所がどこでも電流が一定ということですね。)
手順② 線路電流について
A地点からx[m]離れた負荷電流\({i}_{x}[A]\)は、x地点からB地点の負荷電流の合計なので、
$$\begin{eqnarray}{ i }_{ x }&=&\int _{ x }^{ L }{ \frac { I }{ L } dx }\\\\{ i }_{ x }&=&{ \left[ \frac { I }{ L } x \right] }_{ x }^{ L }\\\\{ i }_{ x }&=&I-\frac { I }{ L }x\quad [A]\end{eqnarray}$$
と表せます。
手順③ AB間の電圧降下と電力損失について
\({ v }_{ AB }\)は\({i}_{x}\)と線路抵抗を掛けたものをAB間で積分すれば求まるので、
$$\begin{eqnarray}{ v }_{ AB }&=&\int _{ 0 }^{ L }{ { i }_{ x }rdx }\\\\{ v }_{ AB }&=&r\int _{ 0 }^{ L }{ \left( I-\frac { I }{ L } x \right) dx }\\\\{ v }_{ AB }&=&r{ \left[ Ix-\frac { I }{ 2L } { x }^{ 2 } \right] }_{ 0 }^{ L }\\\\{ v }_{ AB }&=&r\left( IL-\frac { 1 }{ 2 } IL \right)\\\\{ v }_{ AB }&=&\frac { 1 }{ 2 } IrL\quad [V]\end{eqnarray}$$
次に、\({ P }_{ AB }\)は\({ { i }_{ x } }^{ 2 }\)と線路抵抗を掛けたものをAB間で積分すれば求まるので、
$$\begin{eqnarray}{ P }_{ AB }&=&\int _{ 0 }^{ L }{ { { i }_{ x } }^{ 2 }rdx }\\\\{ P }_{ AB }&=&r\int _{ 0 }^{ L }{ { \left( I-\frac { I }{ L } x \right) }^{ 2 }dx } \\\\{ P }_{ AB }&=&r\int _{ 0 }^{ L }{ { \left( { I }^{ 2 }-2\frac { { I }^{ 2 } }{ L } x+\frac { { I }^{ 2 } }{ { L }^{ 2 } } { x }^{ 2 } \right) }dx } \\\\{ P }_{ AB }&=&r{ \left[ { I }^{ 2 }x-\frac { { I }^{ 2 } }{ L } { x }^{ 2 }+\frac { { I }^{ 2 } }{ 3{ L }^{ 2 } } { x }^{ 3 } \right] }_{ 0 }^{ L }\\\\{ P }_{ AB }&=&r\left( { I }^{ 2 }L-{ I }^{ 2 }L+\frac { 1 }{ 3 } { I }^{ 2 }L \right) \\\\{ P }_{ AB }&=&\frac { 1 }{ 3 } { I }^{ 2 }rL\quad [W]\end{eqnarray}$$
以上です！
