直線的に変化する負荷でAPとBPの電圧降下が等しくなる場所から給電した場合
直線的に変化する負荷でAPとBPの電圧降下が等しくなる場所から給電した場合
AP間,BP間の線路電圧降下\({ v }_{ AP }[V]\)\({ v }_{ BP }[V]\),及び\({ v }_{ AP }={ v }_{ BP }\)となる位置P(A点からの距離をx[m]とする) を求めていきます。
今回もこれまでと同様に、低負荷側(A点)を基準(0)として考えていきます。
電力損失はこれまでの流れと同じ要領で解けるので割愛します。
手順① 負荷電流について
A地点からx[m]離れた負荷電流\({i}_{0}[A]\)は
$${i}_{0}＝\frac { I }{ L }x [A]$$
と表せます。
ここからはAP間とBP間に分けて\({ v }_{ AP }[V]\)\({ v }_{ BP }[V]\)を求めていきましょう。
【AP間について】
手順② 線路電流について
A地点からx[m]離れた負荷電流\({i}_{x}[A]\)は、A地点からP地点の負荷電流の合計なので、
$$\begin{eqnarray}{ i }_{ x }&=&\int _{ 0 }^{ x }{ { i }_{ 0 }dx }\\\\{ i }_{ x }&=&\int _{ 0 }^{ x }{ \frac { I }{ L } xdx }\\\\{ i }_{ x }&=&{ \frac { I }{ 2L } { x }^{ 2 } }\end{eqnarray}$$
と表せます。
手順③ AP間の電圧降下について
\({ v }_{ AP }\)は\({i}_{x}\)と線路抵抗を掛けたものをAP間で積分すれば求まるので、
$$\begin{eqnarray}{ v }_{ AP }&=&\int _{ 0 }^{ x }{ { i }_{ x }rdx }\\\\{ v }_{ AP }&=&r\int _{ 0 }^{ \\ x }{ \left( \frac { I }{ 2L } { x }^{ 2 } \right) dx } \\\\{ v }_{ AP }&=&r{ { \left[ \frac { I }{ 6L } { x }^{ 3 } \right] }_{ 0 }^{ x } }\\\\{ v }_{ AP }&=&\frac { Ir }{ 6L } { x }^{ 3 }\quad [V]\quad …①\end{eqnarray}$$
【BP間について】
手順②´ 線路電流について
A地点からx[m]離れた負荷電流\({i}_{x}[A]\)は、P地点からB地点の負荷電流の合計なので、
$$\begin{eqnarray}{ i }_{ x }&=&\int _{ x }^{ L }{ { i }_{ 0 }dx } \\\\{ i }_{ x }&=&\int _{ x }^{ L }{ \frac { I }{ L } xdx } \\\\{ i }_{ x }&=&{ \left[ \frac { I }{ 2L } { x }^{ 2 } \right] }_{ x }^{ L }\\\\{ i }_{ x }&=&\frac { IL }{ 2 } -\frac { I }{ 2L } { x }^{ 2 }\end{eqnarray}$$
と表せます。
手順③´ BP間の電圧降下について
\({ v }_{ BP }\)は\({i}_{x}\)と線路抵抗を掛けたものをBP間で積分すれば求まるので、
$$\begin{eqnarray}{ v }_{ BP }&=&\int _{ x }^{ L }{ { i }_{ x }rdx }\\\\{ v }_{ BP }&=&r\int _{ x }^{ \\ L }{ \left( \frac { IL }{ 2 } -\frac { I }{ 2L } { x }^{ 2 } \right) dx }\\\\{ v }_{ BP }&=&r{ { \left[ \frac { IL }{ 2 } x-\frac { I }{ 6L } { x }^{ 3 } \right] }_{ x }^{ L } }\\\\{ v }_{ BP }&=&r\left( \frac { I{ L }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { I{ L }^{ 2 } }{ 6 } -\frac { IL }{ 2 } x+\frac { I }{ 6L } { x }^{ 3 } \right)\\\\{ v }_{ BP }&=&r\left( \frac { I{ L }^{ 2 } }{ 3 } -\frac { IL }{ 2 } x+\frac { I }{ 6L } { x }^{ 3 } \right)\\\\{ v }_{ BP }&=&\frac { I{ rL }^{ 2 } }{ 3 } -\frac { IrL }{ 2 } x+\frac { Ir }{ 6L } { x }^{ 3 }\quad [V]…②\end{eqnarray}$$
ここで\({ v }_{ AP }={ v }_{ BP }\)なので①式＝②式より
$$\begin{eqnarray}\frac { Ir }{ 6L } { x }^{ 3 }&=&\frac { I{ rL }^{ 2 } }{ 3 } -\frac { IrL }{ 2 } x+\frac { Ir }{ 6L } { x }^{ 3 }\\\\0&=&\frac { I{ rL }^{ 2 } }{ 3 } -\frac { IrL }{ 2 } x\\\\0&=&2I{ rL }^{ 2 }-3IrLx\\\\3IrLx&=&2I{ rL }^{ 2 }\\\\3x&=&2L\end{eqnarray}$$
以上の結果より、A地点から\(\frac { 2 }{ 3 } L[m]\)離れた地点を給電点とすることでAP間とBP間の電圧降下が等しくなるという事が分かりました。この結果くらいは検算の意味で暗記しておいてもいいのではないかと思います。
また、このときの電圧降下\({ v }_{ AP }\)\({ v }_{ BP }\)は、①式に③式を代入して
$$\begin{eqnarray}{ v }_{ AP }&=&\frac { Ir }{ 6L } { x }^{ 3 }\quad …①\\\\{ v }_{ AP }&=&\frac { Ir }{ 6L } { \left( \frac { 2 }{ 3 } L \right) }^{ 3 }\\\\{ v }_{ AP }&=&\frac { Ir }{ 6L } ×\frac { 8 }{ 27 } { L }^{ 3 }\\\\{ v }_{ AP }&=&\frac { 4 }{ 81 } { IrL }^{ 2 }={ v }_{ BP }\end{eqnarray}$$
という風に求めることができます。
以上です！
