直線的に変化する負荷で高負荷側から給電した場合
直線的に変化する負荷で高負荷側から給電した場合
AB間の線路電圧降下\({ v }_{ AB }[V]\),AB間の線路電力損失\({ P }_{ AB }[W]\)を求めていきます。実は低負荷側からの給電よりもこっちの方が計算が楽です。それは線路電流の求めるときの積分範囲が0～xになるからです。
また位置の基準ですが、低負荷側(A点)を基準(0)として計算することで色々と楽になります。
手順① 負荷電流について
A地点からx[m]離れた負荷電流\({i}_{0}[A]\)は
$${i}_{0}＝\frac { I }{ L }x [A]$$
と表せます。これが？って人は下図を参照してください。
手順② 線路電流について
A地点からx[m]離れた負荷電流\({i}_{x}[A]\)は、A地点からx地点の負荷電流の合計なので、
$$\begin{eqnarray}{ i }_{ x }&=&\int _{ 0 }^{ x }{ { i }_{ 0 }dx }\\\\{ i }_{ x }&=&\int _{ 0 }^{ x }{ \frac { I }{ L } xdx }\\\\{ i }_{ x }&=&{ \frac { I }{ 2L } { x }^{ 2 } }\end{eqnarray}$$
と表せます。
低負荷側からの給電より式が少しスッキリしていますね。
手順③ AB間の電圧降下と電力損失について
\({ v }_{ AB }\)は\({i}_{x}\)と線路抵抗を掛けたものをAB間で積分すれば求まるので、
$$\begin{eqnarray}{ v }_{ AB }&=&\int _{ 0 }^{ L }{ { i }_{ x }rdx }\\\\{ v }_{ AB }&=&r\int _{ 0 }^{ \\ L }{ \left( \frac { I }{ 2L } { x }^{ 2 } \right) dx }\\\\{ v }_{ AB }&=&r{ { \left[ \frac { I }{ 6L } { x }^{ 3 } \right] }_{ 0 }^{ L } }\\\\{ v }_{ AB }&=&r\left( \frac { 1 }{ 6 } { IL }^{ 2 } \right)\\\\{ v }_{ AB }&=&\frac { 1 }{ 6 } I{ rL }^{ 2 }\quad [V]\end{eqnarray}$$
次に、\({ P }_{ AB }\)は\({ { i }_{ x } }^{ 2 }\)と線路抵抗を掛けたものをAB間で積分すれば求まるので、
$$\begin{eqnarray}{ P }_{ AB }&=&\int _{ 0 }^{ L }{ { { i }_{ x } }^{ 2 }rdx }\\\\{ P }_{ AB }&=&r\int _{ 0 }^{ \\ L }{ { \left( \frac { I }{ 2L } { x }^{ 2 } \right) }^{ 2 }dx }\\\\{ P }_{ AB }&=&r\int _{ 0 }^{ \\ L }{ \left( \frac { { I }^{ 2 } }{ 4{ L }^{ 2 } } { x }^{ 4 } \right) dx }\end{eqnarray}$$
↑今回はシンプルな形なので外に取り出さずこのまま2乗の計算をします。
$${ P }_{ AB }=r{ { \left[ \frac { { I }^{ 2 } }{ { 20L }^{ 2 } } { x }^{ 5 } \right] }_{ 0 }^{ L } }$$
$${ P }_{ AB }=\frac { 1 }{ 20 } { I }^{ 2 }r{ L }^{ 3 }\quad [W]$$
以上です！
