直線的に変化する負荷で低負荷側から給電した場合
直線的に変化する負荷で低負荷側から給電した場合
AB間の線路電圧降下\({ v }_{ AB }[V]\),AB間の線路電力損失\({ P }_{ AB }[W]\)を求めていきます。
また位置の基準ですが、低負荷側(A点)を基準(0)として計算することで色々と楽になります。
手順① 負荷電流について
A地点からx[m]離れた負荷電流\({i}_{0}[A]\)は
$${i}_{0}＝\frac { I }{ L }x [A]$$
と表せます。これが？って人は下図を参照してください。
手順② 線路電流について
A地点からx[m]離れた負荷電流\({i}_{x}[A]\)は、x地点からB地点の負荷電流の合計なので、
$$\begin{eqnarray}{ i }_{ x }&=&\int _{ x }^{ L }{ { i }_{ 0 }dx }\\\\{ i }_{ x }&=&\int _{ x }^{ L }{ \frac { I }{ L } xdx }\\\\{ i }_{ x }&=&{ \left[ \frac { I }{ 2L } { x }^{ 2 } \right] }_{ x }^{ L }\\\\{ i }_{ x }&=&\frac { IL }{ 2 } -\frac { I }{ 2L } { x }^{ 2 }\end{eqnarray}$$
と表せます。
手順③ AB間の電圧降下と電力損失について
\({ v }_{ AB }\)は\({i}_{x}\)と線路抵抗を掛けたものをAB間で積分すれば求まるので、
$$\begin{eqnarray}{ v }_{ AB }&=&\int _{ 0 }^{ L }{ { i }_{ x }rdx }\\\\{ v }_{ AB }&=&r\int _{ 0 }^{ \\ L }{ \left( \frac { IL }{ 2 } -\frac { I }{ 2L } { x }^{ 2 } \right) dx }\\\\{ v }_{ AB }&=&r{ { \left[ \frac { IL }{ 2 } x-\frac { I }{ 6L } { x }^{ 3 } \right] }_{ 0 }^{ L } }\\\\{ v }_{ AB }&=&r\left( \frac { 1 }{ 2 } I{ L }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 6 } { IL }^{ 2 } \right) \\\\{ v }_{ AB }&=&r\left( \frac { 2 }{ 6 } I{ L }^{ 2 } \right)\\\\{ v }_{ AB }&=&\frac { 1 }{ 3 } I{ rL }^{ 2 }\quad [V]\end{eqnarray}$$
次に、\({ P }_{ AB }\)は\({ { i }_{ x } }^{ 2 }\)と線路抵抗を掛けたものをAB間で積分すれば求まるので、
$$\begin{eqnarray}{ P }_{ AB }&=&\int _{ 0 }^{ L }{ { { i }_{ x } }^{ 2 }rdx }\\\\{ P }_{ AB }&=&r\int _{ 0 }^{ \\ L }{ { \left( \frac { IL }{ 2 } -\frac { I }{ 2L } { x }^{ 2 } \right) }^{ 2 }dx }\\\\{ P }_{ AB }&=&\frac { { I }^{ 2 }r }{ 4 } \int _{ 0 }^{ \\ L }{ { \left( L-\frac { 1 }{ L } { x }^{ 2 } \right) }^{ 2 }dx }\end{eqnarray}$$
↑ここの式変形は2乗の中身を取り出しているので\(\frac { I }{ 2 } \)が\(\frac { { I }^{ 2 } }{ 4 } \)になることに注意してください。
$$\begin{eqnarray}{ P }_{ AB }&=&\frac { { I }^{ 2 }r }{ 4 } \int _{ 0 }^{ \\ L }{ \left( { L }^{ 2 }-2{ x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ { L }^{ 2 } } { x }^{ 4 } \right) dx }\\\\{ P }_{ AB }&=&\frac { { I }^{ 2 }r }{ 4 } { { \left[ { L }^{ 2 }x-\frac { 2 }{ 3 } { x }^{ 3 }+\frac { 1 }{ { 5L }^{ 2 } } { x }^{ 5 } \right] }_{ 0 }^{ L } }\\\\{ P }_{ AB }&=&\frac { { I }^{ 2 }r }{ 4 } \left( { L }^{ 3 }-\frac { 2 }{ 3 } { L }^{ 3 }+\frac { 1 }{ 5 } { L }^{ 3 } \right)\\\\{ P }_{ AB }&=&\frac { { I }^{ 2 }r }{ 4 } \left( \frac { 8 }{ 15 } { L }^{ 3 } \right) \\\\{ P }_{ AB }&=&\frac { 2 }{ 15 } { I }^{ 2 }r{ L }^{ 3 }\quad [W]\end{eqnarray}$$
以上です！
