平等負荷で中央から給電した場合

2018年12月23日

平等負荷で中央から給電した場合

AP間=BP間の線路電圧降下{ v }_{ AP }[V]{ v }_{ BP }[V],AB間の線路電力損失{ P }_{ AB }[W]を求めていきます。

ただ、AB間の電力損失は回路の対称性よりAP間の電力損失{ P }_{ AP }[W]を2倍することで求めていきます。

また、端から給電した場合と同様に、A点を基準(0)として考えていきます。

手順① 負荷電流について

A地点からx[m]離れた負荷電流は

$$\frac { I }{ L } [A/m]$$

と表せます。(場所がどこでも電流が一定ということですね。)

 

手順② 線路電流について

ここからは、回路が対称であることからAP間だけに焦点を絞って考えていきます。

A地点からx[m]離れたX地点の負荷電流{i}_{x}[A]は、A地点からX地点の負荷電流の合計なので、

$${ i }_{ x }=\int _{ 0 }^{ x }{ \frac { I }{ L } dx }$$

$${ i }_{ x }=\frac { I }{ L } x\quad [A]\quad \left( 0≦x≦\frac { L }{ 2 } \right) $$

と表せます。

 

手順③ AP間の電圧降下と電力損失について

{ v }_{ AP }{i}_{x}と線路抵抗を掛けたものをAP間で積分すれば求まるので、

$${ v }_{ AP }=\int _{ 0 }^{ \frac { L }{ 2 } }{ { i }_{ x }rdx } $$

$${ v }_{ AP }=r\int _{ 0 }^{ \frac { L }{ 2 } }{ \frac { I }{ L } xdx } $$

$${ v }_{ AP }=r{ \left[ \frac { I }{ 2L } { x }^{ 2 } \right] }_{ 0 }^{ \frac { L }{ 2 } }$$

$${ v }_{ AP }=\frac { 1 }{ 8 } IrL\quad [V]$$

回路の対称性より

$${ v }_{ AP }={ v }_{ BP }=\frac { 1 }{ 8 } IrL\quad [V]$$

 

次に、{ P }_{ AP }{ { i }_{ x } }^{ 2 }と線路抵抗を掛けたものをAP間で積分すれば求まるので、

$${ P }_{ AB }=\int _{ 0 }^{ \frac { L }{ 2 } }{ { { i }_{ x } }^{ 2 }rdx } $$

$${ P }_{ AP }=r\int _{ 0 }^{ \frac { L }{ 2 } }{ { \left( \frac { I }{ L } x \right) }^{ 2 }dx } $$

$${ P }_{ AP }=r\int _{ 0 }^{ \frac { L }{ 2 } }{ \frac { { I }^{ 2 } }{ { L }^{ 2 } } { x }^{ 2 }dx } $$

$${ P }_{ AP }=r{ \left[ \frac { { I }^{ 2 } }{ { 3L }^{ 2 } } { x }^{ 3 } \right] }_{ 0 }^{ \frac { L }{ 2 } }$$

$${ P }_{ AP }=\frac { 1 }{ 24 } { { I }^{ 2 }r }L\quad [W]$$

回路の対称性より

$${ P }_{ AB }={ P }_{ AP }×2=\frac { 1 }{ 12 } { { I }^{ 2 }r }L\quad [W]$$

以上です!

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電験2種

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