平等負荷で中央から給電した場合

2019年2月10日

平等負荷で中央から給電した場合

AP間=BP間の線路電圧降下\({ v }_{ AP }[V]\)\({ v }_{ BP }[V]\),AB間の線路電力損失\({ P }_{ AB }[W]\)を求めていきます。

ただ、AB間の電力損失は回路の対称性よりAP間の電力損失\({ P }_{ AP }[W]\)を2倍することで求めていきます。

また、端から給電した場合と同様に、A点を基準(0)として考えていきます。

手順① 負荷電流について

A地点からx[m]離れた負荷電流は

$$\frac { I }{ L } [A/m]$$

と表せます。(場所がどこでも電流が一定ということですね。)

 

手順② 線路電流について

ここからは、回路が対称であることからAP間だけに焦点を絞って考えていきます。

A地点からx[m]離れたX地点の負荷電流\({i}_{x}[A]\)は、A地点からX地点の負荷電流の合計なので、

$$\begin{eqnarray}{ i }_{ x }&=&\int _{ 0 }^{ x }{ \frac { I }{ L } dx }\\\\{ i }_{ x }&=&\frac { I }{ L } x\quad [A]\quad \left( 0≦x≦\frac { L }{ 2 } \right)\end{eqnarray}$$

と表せます。

 

手順③ AP間の電圧降下と電力損失について

\({ v }_{ AP }\)は\({i}_{x}\)と線路抵抗を掛けたものをAP間で積分すれば求まるので、

$$\begin{eqnarray}{ v }_{ AP }&=&\int _{ 0 }^{ \frac { L }{ 2 } }{ { i }_{ x }rdx }\\\\{ v }_{ AP }&=&r\int _{ 0 }^{ \frac { L }{ 2 } }{ \frac { I }{ L } xdx }\\\\{ v }_{ AP }&=&r{ \left[ \frac { I }{ 2L } { x }^{ 2 } \right] }_{ 0 }^{ \frac { L }{ 2 } }\\\\{ v }_{ AP }&=&\frac { 1 }{ 8 } IrL\quad [V]\end{eqnarray}$$

回路の対称性より

$${ v }_{ AP }={ v }_{ BP }=\frac { 1 }{ 8 } IrL\quad [V]$$

 

次に、\({ P }_{ AP }\)は\({ { i }_{ x } }^{ 2 }\)と線路抵抗を掛けたものをAP間で積分すれば求まるので、

$$\begin{eqnarray}{ P }_{ AB }&=&\int _{ 0 }^{ \frac { L }{ 2 } }{ { { i }_{ x } }^{ 2 }rdx }\\\\{ P }_{ AP }&=&r\int _{ 0 }^{ \frac { L }{ 2 } }{ { \left( \frac { I }{ L } x \right) }^{ 2 }dx }\\\\{ P }_{ AP }&=&r\int _{ 0 }^{ \frac { L }{ 2 } }{ \frac { { I }^{ 2 } }{ { L }^{ 2 } } { x }^{ 2 }dx }\\\\{ P }_{ AP }&=&r{ \left[ \frac { { I }^{ 2 } }{ { 3L }^{ 2 } } { x }^{ 3 } \right] }_{ 0 }^{ \frac { L }{ 2 } }\\\\{ P }_{ AP }&=&\frac { 1 }{ 24 } { { I }^{ 2 }r }L\quad [W]\end{eqnarray}$$

回路の対称性より

$${ P }_{ AB }={ P }_{ AP }×2=\frac { 1 }{ 12 } { { I }^{ 2 }r }L\quad [W]$$

以上です!

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