中性点電圧
中性点電圧とは
下図のように対称三相交流(3相の電圧の大きさが等しく、位相差が互いに120°異なっている)電源があるとしましょう。
中性点電圧とは、この中性点の対地電圧(中性点と地面との電位差)のことを表します。
中性点電圧は基本的に0[V]ですが、
- 中性点非接地方式での1線地絡
- 各相の対地静電容量が異なること
などで中性点電圧が発生します。今回はこの中性点電圧の公式を導出していきましょう！
論述問題にも絡んできますが、電験3種の電力科目で
『直接接地方式では1線地絡時の健全相電位上昇がほとんど無い』とか
『非接地方式では1線地絡時に健全相に異常電圧が発生しやすい』
ということを学んだかと思います。今回の記事ではあの部分に関係する内容を数式で明確化していく感じになるので、頭の片隅に入れておくといいかもしれません。
中性点電圧の導出
下図のように中性点電圧\(\dot { { E }_{ n } } [V]\)を定義してみます。また、\({ C }_{ a }{ C }_{ b }{ C }_{ c }\)は各相の対地静電容量[F]を表しています。
このとき、各相の対地電圧\({ \dot { { E }_{ a } } }^{ \prime }{ \dot { { E }_{ b } } }^{ \prime }{ \dot { { E }_{ c } } }^{ \prime }\)は相電圧に中性点電圧が上乗せされるので、
$${ \dot { { E }_{ a } } }^{ \prime }={ \dot { { E }_{ a } } }+{ \dot { { E }_{ n } } }$$
$${ \dot { { E }_{ b } } }^{ \prime }={ \dot { { E }_{ b } } }+{ \dot { { E }_{ n } } }$$
$${ \dot { { E }_{ c } } }^{ \prime }={ \dot { { E }_{ c } } }+{ \dot { { E }_{ n } } }$$
となります。
次に各相の大地に流入する電流[A]を下図のように定義します。
このとき、大地に流入する電流はその先の大地から流出する回路が無い為、
となります。この辺りちょっと難しいよー・・・って人は下図の中性点が直接接地されている場合を考えてみてください。
この場合は、青矢印のように電流が流れる閉回路が出来るけど今回はその道が無いから・・・と考えると理解しやすいかも。
さて、電源の角周波数をω[rad/s]とすると、それぞれの電流\(\dot { { I }_{ a } } \dot { { I }_{ b } } \dot { { I }_{ c } } \)は、
$$\dot { { I }_{ a } } =jω{ C }_{ a }\left( { \dot { { E }_{ a } } }+{ \dot { { E }_{ n } } } \right) $$
$$\dot { { I }_{ b } } =jω{ C }_{ b }\left( { \dot { { E }_{ b } } }+{ \dot { { E }_{ n } } } \right) $$
$$\dot { { I }_{ c } } =jω{ C }_{ c }\left( { \dot { { E }_{ c } } }+{ \dot { { E }_{ n } } } \right) $$
となります。
これらの3つの式を①式に代入してみると
\(jω{ C }_{ a }\left( { \dot { { E }_{ a } } }+{ \dot { { E }_{ n } } } \right) +jω{ C }_{ b }\left( { \dot { { E }_{ b } } }+{ \dot { { E }_{ n } } } \right) +jω{ C }_{ c }\left( { \dot { { E }_{ c } } }+{ \dot { { E }_{ n } } } \right) =0\)
\(jω\left( { C }_{ a }\dot { { E }_{ a } } +{ C }_{ b }\dot { { E }_{ b } } +{ C }_{ c }\dot { { E }_{ c } } \right) +jω\left( { C }_{ a }+{ C }_{ b }+{ C }_{ c } \right) \dot { { E }_{ n } } =0\)
\(\left( { C }_{ a }\dot { { E }_{ a } } +{ C }_{ b }\dot { { E }_{ b } } +{ C }_{ c }\dot { { E }_{ c } } \right) +\dot { { E }_{ n } } \left( { C }_{ a }+{ C }_{ b }+{ C }_{ c } \right) =0\)
\(\dot { { E }_{ n } } \left( { C }_{ a }+{ C }_{ b }+{ C }_{ c } \right) =-\left( { C }_{ a }\dot { { E }_{ a } } +{ C }_{ b }\dot { { E }_{ b } } +{ C }_{ c }\dot { { E }_{ c } } \right) \)
$$\dot { { E }_{ n } } =-\frac { { C }_{ a }\dot { { E }_{ a } } +{ C }_{ b }\dot { { E }_{ b } } +{ C }_{ c }\dot { { E }_{ c } } }{ { C }_{ a }+{ C }_{ b }+{ C }_{ c } } …②$$
となります。
ここで基準ベクトルを\({ \dot { { E }_{ a } } }\)、大きさを\(E\)として、\({ \dot { { E }_{ a } } }{ \dot { { E }_{ b } } }{ \dot { { E }_{ c } } }\)をベクトルオペレータを用いて表すと、
\({ \dot { { E }_{ a } } }=E\) , \({ \dot { { E }_{ b } } }={ a }^{ 2 }E\) , \({ \dot { { E }_{ c } } }=aE\)という風になり、これを②式に代入すると、
という風に中性点電圧の式が求められました。また、この式は対称三相交流電源という条件での式であることに注意して下さい。不平衡の場合は②式となります。
この式とベクトルオペレータの性質から分かることですが、\({ C }_{ a }={ C }_{ b }={ C }_{ c }\)のとき、すなわち各相の対地静電容量が等しい場合は中性点電圧が0[V]となります。
ここまでを振り返ってまとめておくと…。中性点電圧を求めるときの流れは、
①電流の関係式を出す
②それぞれの電流を求め代入して式変形
こんな感じになります！超シンプル！！！
さて、それでは練習として少しひねりを入れた問題をやってみましょうか。
練習問題
【問題】
1線あたりの対地静電容量0.5[μF],線間電圧77[kV],周波数60[Hz]である中性点非接地方式の三相3線式1回線架空送電線路がある。1線が抵抗1000[Ω]を通じて地絡を生じたときの中性点電圧を求めよ。
(昭和61年送配電 改題)
【解き方】
まずは、下図のように回路図を書いて、それぞれの要素を定義します。
先ほどの解説と同様に4つの電流の関係式を作ってみましょう。
$$\dot { { I }_{ a } } +\dot { { I }_{ b } } +\dot { { I }_{ c } } +\dot { { I }_{ g } }=0…①$$
記事を読んだ皆さんなら余裕ですよね！
次に、それぞれの電流を求めていきましょう。各相の対地静電容量は等しいので、\({ C }_{ a }={ C }_{ b }={ C }_{ c }=C\)として、
$$\dot { { I }_{ a } } =jωC\left( { \dot { { E }_{ a } } }+{ \dot { { E }_{ n } } } \right) $$
$$\dot { { I }_{ b } } =jωC\left( { \dot { { E }_{ b } } }+{ \dot { { E }_{ n } } } \right) $$
$$\dot { { I }_{ c } } =jωC\left( { \dot { { E }_{ c } } }+{ \dot { { E }_{ n } } } \right) $$
$$\dot { { I }_{ g } } =\frac { \dot { { E }_{ a } } +\dot { { E }_{ n } } }{ { R }_{ g } } $$
故障点抵抗\({R}_{g}\)の部分だけさっきと違いますが、まぁ何とかなるはず。
これら4つの式を①式に代入してみます。
$$jω{ C }\left( { \dot { { E }_{ a } } }+{ \dot { { E }_{ n } } } \right) +jω{ C }\left( { \dot { { E }_{ b } } }+{ \dot { { E }_{ n } } } \right) +jω{ C }\left( { \dot { { E }_{ c } } }+{ \dot { { E }_{ n } } } \right) +\frac { \dot { { E }_{ a } } +\dot { { E }_{ n } } }{ { R }_{ g } } =0$$
まずは分母を払います。
$$jω{ C }{ R }_{ g }\left( { \dot { { E }_{ a } } }+{ \dot { { E }_{ n } } } \right) +jω{ C }{ R }_{ g }\left( { \dot { { E }_{ b } } }+{ \dot { { E }_{ n } } } \right) +jω{ C }{ R }_{ g }\left( { \dot { { E }_{ c } } }+{ \dot { { E }_{ n } } } \right) +\dot { { E }_{ a } } +\dot { { E }_{ n } } =0$$
\(\dot { { E }_{ n } }＝ \)の式にしたいので、まず\(\dot { { E }_{ n } } \)で括ります。
$$\dot { { E }_{ n } } \left( jω{ C }{ R }_{ g }+jω{ C }{ R }_{ g }+jω{ C }{ R }_{ g }+1 \right) +jω{ CR }_{ g }\left( \dot { { E }_{ a } } +\dot { { E }_{ b } } +\dot { { E }_{ c } } \right) +\dot { { E }_{ a } } =0$$
$$\dot { { E }_{ n } } \left( j3ω{ C }{ R }_{ g }+1 \right) +jω{ CR }_{ g }\left( \dot { { E }_{ a } } +\dot { { E }_{ b } } +\dot { { E }_{ c } } \right) +\dot { { E }_{ a } } =0$$
$$\dot { { E }_{ n } } =-\frac { jω{ CR }_{ g }\left( \dot { { E }_{ a } } +\dot { { E }_{ b } } +\dot { { E }_{ c } } \right) +\dot { { E }_{ a } } }{ j3ω{ C }{ R }_{ g }+1 } $$
ここで、電源を対称三相交流電源とすると\(\dot { { E }_{ a } } +\dot { { E }_{ b } } +\dot { { E }_{ c } } ＝0\)となるので(問題文からくみ取りにくいので注意)
$$\dot { { E }_{ n } } =-\frac { \dot { { E }_{ a } } }{ j3ω{ C }{ R }_{ g }+1 } $$
\(\dot { { E }_{ a } }\)を大きさ\(E\)の基準ベクトルとして、\(\dot { { E }_{ n } } \)の大きさを求めます。
$${ E }_{ n }=\frac { E }{ \sqrt { { \left( 3ωC{ R }_{ g } \right) }^{ 2 }+1 } } $$
ここで各値を代入していきましょう。
$${ E }_{ n }=\frac { 1 }{ \sqrt { { \left( 3×2π×60×0.5×{ 10 }^{ -6 }×1000 \right) }^{ 2 }+1 } } ×\frac { 77×{ 10 }^{ 3 } }{ \sqrt { 3 } } $$
ここが電卓勝負ですね笑 メモリー機能と逆数を上手く使えば一発で出せます。
$${ E }_{ n }=38.697…×{ 10 }^{ 3 }$$
$${ E }_{ n }≒38.7×{ 10 }^{ 3 }[V]$$
ということで中性点電圧が求められました。
中性点非接地方式は中性点に異常電圧が発生しやすい理由が何となく見えてきたでしょうか？そういったところにも目を向けて勉強すると効率よく学習できるはずです。
ちなみにこの程度の電卓計算は電験2種では当たり前のように出てくるので、せめて1分以内に計算できるようにしておきたいところです。
ということで中性点電圧は以上です！お疲れ様でした！
