%Zと電圧変動率

2018年12月10日

%Z

%Zはパーセント(百分率)インピーダンスや短絡インピーダンスとよばれ、

変圧器において、定格電流{I}_{n}[A]を流した時の、定格相電圧{E}_{n}[V]に対する巻線インピーダンスZ[Ω]の電圧降下の割合を%表記で表したものになります。

簡単に言うと、入力電圧が巻線に何%かかっているかって感じですね。

上図は三相変圧器の二次側を一次側に換算した1相あたりの回路図となります。

この場合、線間電圧を{V}_{n}[V]、変圧器の定格容量を{P}_{n}[VA]とすると変圧器の%Zは

$${ P }_{ n }={ \sqrt { 3 } I }_{ n }{ V }_{ n }$$

を使って、

電験2種の中でもかなり大事な公式
$$%Z=\frac { { I }_{ n }Z }{ { E }_{ n } }×100 =\frac { { \sqrt { 3 } I }_{ n }Z }{ { V }_{ n } } ×100=\frac { { P }_{ n }Z }{ { { V }_{ n } }^{ 2 } } ×100$$

という風に表すことができます。超大事!!!!

定格電流{I}_{n}を用いる表し方と、定格容量{P}_{n}を使う表し方の両方とも使えるようにしておきましょう。

また、%Zの抵抗成分を%抵抗降下p[%]、リアクタンス成分を%リアクタンス降下q[%]と表します。
巻線インピーダンスの抵抗分をR[Ω]、リアクタンス成分をX[Ω]としたとき、

 

上とほぼ同じ!

$$p=\frac { { I }_{ n }R }{ { E }_{ n } }×100=\frac { { \sqrt { 3 } I }_{ n }R }{ { V }_{ n } } ×100=\frac { { P }_{ n }R }{ { { V }_{ n } }^{ 2 } } ×100$$

$$q=\frac { { I }_{ n }X }{ { E }_{ n } }×100 =\frac { { \sqrt { 3 } I }_{ n }X }{ { V }_{ n } } ×100=\frac { { P }_{ n }X }{ { { V }_{ n } }^{ 2 } } ×100$$
$$%Z=\sqrt { { p }^{ 2 }+{ q }^{ 2 } } $$

となります。

 

電圧変動率

電圧変動率ε[%]は定格負荷から無負荷になった際に変動した電圧が、定格負荷時の端子電圧の何%であるかを表していて、

point!

$$ε =\frac { { V }_{ 20 }-{ V }_{ 2n } }{ { V }_{ 2n } } ×100$$

{V}_{20}[V]:無負荷時の端子電圧
{V}_{2n}[V]:定格負荷時の端子電圧

で表されます。

また、電圧変動率は%抵抗降下p%リアクタンス降下qを使って、力率角をθとすると、

point!
$$ε =pcos\theta +qsin\theta +\frac { { \left( qcos\theta -psin\theta \right) }^{ 2 } }{ 200 } $$

という風になります。この第3項を省略した簡略形として

point!
$$ε =pcos\theta +qsin\theta $$

こちらの方がよく使われます。ただ、上式の二つとも近似式である為、この式を使う場合は「電圧変動率の近似式を用いると・・・」という宣言を必ずしましょう

前者の式を使う方がより真値に近づきますが、採点にほぼ影響無いと思うので後者の式で求めた方が良いかと思います。(個人的に)

余談
電圧変動率を3つの式で表しましたが、真値は1つ目の式でしか求められません。この式を式変形して2つ目と3つ目の式を作るのですが、その際に、2項定理展開をする必要がありそこで項の省略をする必要があります。その結果、2つ目の式も3つ目の式も近似式となります。

 

 

【例題】

定格容量{P}_{n}=20[kVA],一次電圧{V}_{1}=6300[V],二次電圧{V}_{2}=210[V]の単相変圧器において、一次側の抵抗及びリアクタンスが{r}_{1}=40[Ω],{x}_{1}=150[Ω]、また、二次側の抵抗及びリアクタンスが{r}_{2}=0.05[Ω],{x}_{2}=0.2[Ω]である。このとき、

(1)変圧器の%抵抗降下、%リアクタンス降下,%インピーダンス降下

(2)負荷の力率が80[%](遅れ)の場合の電圧変動率εを求めよ。

なお、励磁回路は省略する。

【解き方】

(1)
一次側に換算した等価回路で解くパターン二次側に換算した等価回路で解くパターンの二つがありますがどちらでも解けます。今回は一次側に換算した回路で解きます。

まず、巻数比a=6300÷210=30なので、これを用いて二次側を一次側に換算します。

ここからは公式に代入するだけです。

$$p=\frac { { P }_{ n }({ r }_{ 1 }+{ { r }_{ 2 } }^{ \prime }) }{ { { V }_{ 1 } }^{ 2 } } ×100\\ p=\frac { 20000×(40+45) }{ { 6300 }^{ 2 } } ×100\\ p=4.28319・・・\\ p≒4.28[%]$$

 

$$q=\frac { { P }_{ n }({ x }_{ 1 }+{ { x }_{ 2 } }^{ \prime }) }{ { { V }_{ 1 } }^{ 2 } } ×100\\ q=\frac { 20000×(150+180) }{ { 6300 }^{ 2 } } ×100\\ q=16.628・・・\\ q≒16.6[%]$$

 

$$%Z=\sqrt { { p }^{ 2 }+{ q }^{ 2 } } \\ %Z=\sqrt { 4.2831^{ 2 }+{ 16.628 }^{ 2 } } \\ %Z=17.170・・・\\ %Z=17.2[%]$$

 

(2)

電圧変動率の近似式を用いて求める。

$$ε=pcos\theta +qsin\theta \\ ε=4.2831×0.8+16.628×\sqrt { 1-{ 0.8 }^{ 2 } } \\ ε=13.403\\ ε≒13.4[%]$$

こんな感じで結局は公式を覚えているかどうかの戦いになってきます。

三相変圧器の場合はこれに相電圧と線間電圧の\sqrt { 3 } 倍とかを気を付けないといけないことも覚えておきましょう。

おしまい。

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Posted by Lese