零相・正相・逆相について
この単元では、参考書等で度々見かける零相・正相・逆相について説明していきます。故障時の三相不平衡時の回路計算で主に使われますが、その他の単元でも意外と出てくる言葉です。(零相は特に)
イメージ掴むのが結構難しいのでどういったものかという定義をしっかり覚えるといいと思います。
零相・正相・逆相について
零相・正相・逆相がついた用語としては
- 零相電圧
- 正相電圧
- 逆相電圧
とか
- 零相電流
- 正相電流
- 逆相電流
などがありますが、今回は後者の○相電流について説明していきます。(電流の方が理解できれば電圧も同じなので正直どっちでもいいです笑)
さて、唐突ですが下図のような対称三相交流電源に平衡三相負荷を繋げたとしましょう。
この時、相回転をabcとして\({ \dot { I } }_{ a }\)を基準ベクトルとして\({ \dot { I } }_{ a }{ \dot { I } }_{ b }{ \dot { I } }_{ c }\)をそれぞれベクトル図で表すと下図のようになります。
ここまでは簡単ですよね。それでは、各用語の定義を説明していきます。
零相電流
零相電流\({ \dot { I } }_{ 0 }\)は、
で表されます。
すなわち零相電流は3つのベクトルを足して3で割っただけです。
上図のように対称三相交流(各位相差が120°で大きさが同じ)の場合、零相電流は0となります。
正相電流
正相電流\({ \dot { I } }_{ 1 }\)はベクトルオペレータaを用いて
で表されます。
すなわち正相電流はb相の電流を120°進めて、c相の電流を240°進めて、3つのベクトルを足して3で割っただけです。対称三相交流の場合、正相電流は\({ \dot { I } }_{ a }\)に等しくなります。
※全てのベクトルが基準ベクトルに近づくイメージですね。
逆相電流
逆相電流\({ \dot { I } }_{ 2 }\)は
で表されます。
すなわち逆相電流はb相の電流を240°進めて、c相の電流を120°進めて、3つのベクトルを足して3で割っただけです。
対称三相交流の場合、逆相電流は0になります。
よくある間違いですが、b相とc相を入れ替えているわけありません。正相電流も逆相電流も120°と240°位相をずらしているだけです。
先ほど出てきた正相電流も位相を動かした後の3つのベクトルが基準ベクトルの方向に必ず一致するわけではありません。
この辺りは次の不平衡三相交流の場合を見ればよく分かるかと思います。
さて、ここまでの公式まとめると下のようになります。
$$\begin{eqnarray}零相電流：{ \dot { I } }_{ 0 }&=&\frac { 1 }{ 3 } \left( { \dot { I } }_{ a }+{ \dot { I } }_{ b }+{ \dot { I } }_{ c } \right) \\ 正相電流：{ \dot { I } }_{ 1 }&=&\frac { 1 }{ 3 } \left( { \dot { I } }_{ a }+{ a\dot { I } }_{ b }+{ { a }^{ 2 }\dot { I } }_{ c } \right) \\ 逆相電流：{ \dot { I } }_{ 2 }&=&\frac { 1 }{ 3 } \left( { \dot { I } }_{ a }+{ { a }^{ 2 }\dot { I } }_{ b }+{ a\dot { I } }_{ c } \right) \end{eqnarray}$$
これらを行列式にまとめると下のようになります。
$$\begin{bmatrix} { \dot { I } }_{ 0 } \\ { \dot { I } }_{ 1 } \\ { \dot { I } }_{ 2 } \end{bmatrix}=\frac { 1 }{ 3 } \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & { a }^{ 2 } \\ 1 & { a }^{ 2 } & a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} { \dot { I } }_{ a } \\ { \dot { I } }_{ b } \\ { \dot { I } }_{ c } \end{bmatrix}$$
行列式は2種でほぼ出題されないので、理解できなくても大丈夫かと思います。
不平衡三相交流
故障など、何らかの影響で\({ \dot { I } }_{ a }{ \dot { I } }_{ b }{ \dot { I } }_{ c }\)が上図のように不平衡となった場合の零相電流、正相電流、逆相電流について考えてみます。
かなり歪んだベクトル図ですが気にしないでいきましょう笑
零相電流
対称三相交流の場合は0でしたが、今回はベクトル図として表れていますね。零相電流があることで回路が不平衡であることが分かります。
正相電流
位相をずらしても不平衡であれば、基準ベクトルからずれることがよくわかりますね。
逆相電流
対称三相交流の場合は0でしたが、零相電流と同じくベクトル図として表れていますね。
という感じで不平衡三相交流で零相・正相・逆相の電流を図を使って求めましたが、この零相と正相と逆相がどういった意味合いを表しているかというのは言葉で説明するのは難しく、そういうもんなんだ。と覚えてしまった方が楽です。
後程もう少し詳しく書きますが、この変換自体はラプラス変換みたいなもので、abcの世界と012(零相・正相・逆相)の世界を行き来する為の鍵みたいなもんです。
零相・正相・逆相はどのように使われるか
先ほど「abcの世界と012の世界を行き来する」と伝えました。
ここまではabc⇒012の変換を説明しましたが、012⇒abcの変換もできます。
すなわち、元のabc相の電流はそれぞれ、零相正相逆相の電流を使って表すことが出来るということです。
その結果、ラプラス変換のようにabc相の電流や電圧を零相正相逆相に変換して、不平衡回路の計算をしてまた逆変換してabcの相に戻して解析するというのが主な変換の目的となっています。
その辺りの詳しい使い方などは電験1種からで十分だと思いますのでここでは説明を割愛させていただきます。(僕が分からないだけ)
それでは、最後に元の世界に戻る鍵(012⇒abc)についてを説明していきます。
\({ \dot { I } }_{ a }\)の求め方
下図のように零相・正相・逆相の電流を全て足すと\({ \dot { I } }_{ a }\)が求められます。
全て足すことで、b相とc相の電流成分が全て消えるところがとても面白いですよね！
ということは・・・b相の電流を求めるときは、正相電流を240°進めて逆相電流を120°進めて全て足すことで求まりそう！っていうことに気付けるでしょうか。
\({ \dot { I } }_{ b }\)の求め方
さっき言っていたのはこういうことです！c相…はもうお分かりですよね。
\({ \dot { I } }_{ c }\)の求め方
というわけでここまでをまとめると・・・
$$\begin{eqnarray}a相：{ \dot { I } }_{ a }&=&\left( { \dot { I } }_{ 0 }+{ \dot { I } }_{ 1 }+{ \dot { I } }_{ 2 } \right) \\ b相：{ \dot { I } }_{ b }&=&\left( { \dot { I } }_{ 0 }+{ { a }^{ 2 }\dot { I } }_{ 1 }+{ a\dot { I } }_{ 2 } \right) \\ c相：{ \dot { I } }_{ c }&=&\left( { \dot { I } }_{ 0 }+{ a\dot { I } }_{ 1 }+{ { a }^{ 2 }\dot { I } }_{ 2 } \right) \end{eqnarray}$$
$$\begin{bmatrix} { \dot { I } }_{ a } \\ { \dot { I } }_{ b } \\ { \dot { I } }_{ c } \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & { a }^{ 2 } & { a } \\ 1 & { a } & { a }^{ 2 } \end{bmatrix}\begin{bmatrix} { \dot { I } }_{ 0 } \\ { \dot { I } }_{ 1 } \\ { \dot { I } }_{ 2 } \end{bmatrix}$$
こんな感じです。
更にもう少しこの世界観を理解したい人は下の図も見ていただけるとイメージわくかもです。
というわけで理解できた！と中々言い切れない微妙な単元でしたが、零相・正相・逆相もtの関数をsの関数に変換するラプラス変換のようなものって感じのイメージで覚えておくといいかもです。
というわけで以上になります。今回は長かったですね・・・大変お疲れ様でした！
