同期電動機の出力の導出
同期電動機の回路図とベクトル図
同期電動機の回路図とベクトル図は下図のように表されます。
今回はこの回路図を用いて、同期電動機の出力を導出していきます。
練習問題
上図の同期電動機において、同期電動機の出力\({ P }\left[ p.u. \right] \)を\({\delta}\)、\({\alpha}\)、\({ Z }_{ s }\left[ p.u. \right] \)、\({ E }\left[ p.u. \right] \)、\({ V }\left[ p.u. \right] \)を用いた形で表せ。
【解き方】
まず、出力Pを求める必要があるのでPの基本公式を書きましょう。
無効電力を\({ Q }\left[ p.u. \right] \)とすると
$$P+jQ=\dot { E } \bar { \dot { I } } ・・・①$$
この次は、電流についての式を作ります。ここまでは定番パターン。
$$\dot { E } +\dot { { Z }_{ s } } \dot { I } =\dot { V } $$
$$\dot { I } =\frac { \dot { V } -\dot { E } }{ \dot { { Z }_{ s } } } $$
同期インピーダンスZsを極形式で表します。
$$\dot { I } =\frac { \dot { V } -\dot { E } }{ { Z }_{ s }{ e }^{ j\left( \frac { \pi }{ 2 } -\alpha \right) } } $$
$$\dot { I } =\frac { \dot { V } -\dot { E } }{ { Z }_{ s } } { e }^{ j\left( \alpha -\frac { \pi }{ 2 } \right) }$$
$$\bar { \dot { I } } =\frac { \bar { \dot { V } } -\bar { \dot { E } } }{ { Z }_{ s } } { e }^{ -j\left( \alpha -\frac { \pi }{ 2 } \right) }・・・②$$
②式を①式に代入します。
$$P+jQ=\frac { \dot { E } \bar { \dot { V } } }{ { Z }_{ s } } { e }^{ -j\left( \alpha -\frac { \pi }{ 2 } \right) }-\frac { \dot { E } \bar { \dot { E } } }{ { Z }_{ s } } { e }^{ -j\left( \alpha -\frac { \pi }{ 2 } \right) }$$
$$ここで\dot { E } を基準ベクトルとして、\dot { E } =E,\dot { V } =V{ e }^{ j\delta }とします$$
$$P+jQ=\frac { EV }{ { Z }_{ s } } { e }^{ -j\delta }{ e }^{ -j\left( \alpha -\frac { \pi }{ 2 } \right) }-\frac { { E }^{ 2 } }{ { Z }_{ s } } { e }^{ -j\left( \alpha -\frac { \pi }{ 2 } \right) }$$
$$P+jQ=\frac { EV }{ { Z }_{ s } } { e }^{ -j\left( \delta +\alpha -\frac { \pi }{ 2 } \right) }-\frac { { E }^{ 2 } }{ { Z }_{ s } } { e }^{ -j\left( \alpha -\frac { \pi }{ 2 } \right) }$$
ここで極形式の実数成分だけを取り出すと
$$P=\frac { EV }{ { Z }_{ s } } { cos\left( \frac { \pi }{ 2 } -\delta -\alpha \right) }-\frac { { E }^{ 2 } }{ { Z }_{ s } } cos\left( \frac { \pi }{ 2 } -\alpha \right) $$
$$cos\theta =sin\left( \frac { \pi }{ 2 } -\theta \right) より$$
というわけで出力の公式が導出できました。
最初の式を出した後、共役複素数を取るタイミングだけ気を付ければ導出まではスムーズに行けるかと思います。
