電力円線図

2019年2月10日

電力円線図

電力円線図とは下図のように横軸に有効電力、縦軸に無効電力として、送電端電圧と受電端電圧を一定としたときの送電端電力や受電端電力を円曲線で表したものです。

電験2種では平成25年度で円曲線を示す方程式が問われたり、平成30年度では円を描くことを示す問題などの説明や導出の問題が多く出題されています。

よって、“電力円線図とはどういったものか”という概念の理解が大切になってきますので、公式の導出→考察の流れで順に説明していきます。

※計算が結構ややこしいのでなるべく途中式の説明もしていきます。頑張りましょう!

 

電力円線図の公式の導出の流れ

まずは下図のような三相3線式の短距離送電線路があったとします。

短距離送電端と受電端の電流が等しいと考えることができる。

ベクトル図は\(\dot{Z}  = r+jX = Z{\angle}{\varphi }\)として、送電端電圧と受電端電圧の相差角をδとすると下図のようになります。(いつもの流れです)

電力円線図の公式は以下の流れで導出していきます。

導出の流れ

1.電流の\(\dot{I}\)についての式を求める。

2.有効電力と無効電力の公式に代入する。

3.円の方程式の形を作り、グラフ化する。

 

受電端の電力円線図の導出

1.電流についての式

ここからは\(\dot{{E}_{r}}\)を基準ベクトルとしてまずは、電流の\(\dot{I}\)を求めていきます。

$$\dot { I } =\frac { \dot { { E }_{ s } } -{ E }_{ r } }{ \dot { Z } } $$

$$\dot { I } =\frac { { E }_{ s }\angle \left( \delta \right) -{ E }_{ r }\angle \left( 0 \right) }{ Z\angle \left( \varphi \right) } $$

$$\dot { I } =\frac { { E }_{ s } }{ Z } \angle \left( \delta -\varphi \right) -\frac { { E }_{ r } }{ Z } \angle \left( -\varphi \right) $$

後ほど有効電力と無効電力の公式に代入する際の\(\bar { \dot { I } } \)の形に直しておきましょう。

共約複素(上にバーが付く形)を求めるとき虚数成分の符号が反転するので角度の符号を反転させるだけでOKです。

$$\bar { \dot { I } } =\frac { { E }_{ s } }{ Z } \angle \left( \varphi -\delta \right) -\frac { { E }_{ r } }{ Z } \angle \left( \varphi \right) …①$$

 

2.電力の公式に代入

受電端電力の公式は遅れ無効電力を正とすると以下のように表されます。

超大事!!
$$P+jQ=3\dot { { E }_{ r } } \overline { \dot { I } } $$

この公式は電験2種2次の色々なところで登場する重要公式です。必ず覚えておきましょう。

この公式に①式を代入します。

$$P+jQ=3{ \dot { E } }_{ r }\left( \frac { { E }_{ s } }{ Z } \angle \left( \varphi -\delta \right) -\frac { { E }_{ r } }{ Z } \angle \left( \varphi \right) \right) $$

\({E}_{r}\)は基準ベクトルなのでベクトルの記号を外しています。

$$P+jQ=\frac { { 3{ E }_{ s }E }_{ r } }{ Z } \angle \left( \varphi -\delta \right) -\frac { 3{ { E }_{ r } }^{ 2 } }{ Z } \angle \left( \varphi \right) $$

$$P+jQ=\frac { { { V }_{ s }V }_{ r } }{ Z } \angle \left( \varphi -\delta \right) -\frac { { V_{ r } }^{ 2 } }{ Z } \angle \left( \varphi \right) …④$$

ここは相電圧を線間電圧に変換しているだけです。

point!
この後、\(cos\varphi =\frac { R }{ Z } \quad ,\quad sin\varphi =\frac { X }{ Z } \)で表されるので、“右辺の第2項のみ”式変形をします。

$$P+jQ=\frac { { { V }_{ s }V }_{ r } }{ Z } \angle \left( \varphi -\delta \right) -\left( \frac { { V_{ r } }^{ 2 } }{ Z } cos\varphi +j\frac { { V_{ r } }^{ 2 } }{ Z } sin\varphi \right) $$

↑()をつけておかないと符号ミスがおきやすいので注意

$$P+jQ=\frac { { { V }_{ s }V }_{ r } }{ Z } \angle \left( \varphi -\delta \right) -\left( \frac { { V_{ r } }^{ 2 } }{ Z } ×\frac { R }{ Z } +j\frac { { V_{ r } }^{ 2 } }{ Z }  ×\frac { X }{ Z } \right) $$

$$P+jQ=\frac { { { V }_{ s }V }_{ r } }{ Z } \angle \left( \varphi -\delta \right) -\frac { { RV_{ r } }^{ 2 } }{ { Z }^{ 2 } } -j\frac { X{ V_{ r } }^{ 2 } }{ { Z }^{ 2 } } $$
$$\left( P+\frac { { RV_{ r } }^{ 2 } }{ { Z }^{ 2 } } \right) +j\left( Q+\frac { X{ V_{ r } }^{ 2 } }{ { Z }^{ 2 } } \right) =\frac { { { V }_{ s }V }_{ r } }{ Z } \angle \left( \varphi -\delta \right) …②$$

3.円の方程式の形を作りグラフ化する。

三平方の定理を用いて②式から円の方程式の形を作ります。

受電端電力の方程式
$${ \left( P+\frac { { RV_{ r } }^{ 2 } }{ { Z }^{ 2 } } \right) }^{ 2 }+{ \left( Q+\frac { X{ V_{ r } }^{ 2 } }{ { Z }^{ 2 } } \right) }^{ 2 }={ \left( \frac { { { V }_{ s }V }_{ r } }{ Z } \right) }^{ 2 }$$

この方程式をグラフ化すると下図のようになります。

これが受電端の電力円線図となります!!めっちゃキレイ!!

考察は一旦おいといて…送電端の電力円線図もついでに導出してみましょう。受電端とほぼ同じなので!

 

送電端の電力円線図の導出

流れは受電端のときとほぼ同じですので受電端と違うところだけ解説入れていきますね。

1.電流についての式

受電端のときと全く同じです。

$$\dot { I } =\frac { \dot { { E }_{ s } } -{ E }_{ r } }{ \dot { Z } } $$

$$\dot { I } =\frac { { E }_{ s }\angle \left( \delta \right) -{ E }_{ r }\angle \left( 0 \right) }{ Z\angle \left( \varphi \right) } $$

$$\dot { I } =\frac { { E }_{ s } }{ Z } \angle \left( \delta -\varphi \right) -\frac { { E }_{ r } }{ Z } \angle \left( -\varphi \right) $$

$$\bar { \dot { I } } =\frac { { E }_{ s } }{ Z } \angle \left( \varphi -\delta \right) -\frac { { E }_{ r } }{ Z } \angle \left( \varphi \right) …③$$

 

2.電力の公式に代入

受電端のときと最初の式が異なります。

送電端有効電力・無効電力をそれぞれ\({P}_{s}\),\({Q}_{s}\)とすると

超大事!!
$${ P }_{ s }+j{ Q }_{ s }=3\dot { { E }_{ s } } \bar { \dot { I } } $$

受電端のときと比べてErがEsになっただけですね。

③式を代入すると、

$${ P }_{ s }+j{ Q }_{ s }=3{ E }_{ s }\angle \left( \delta \right) \left( \frac { { E }_{ s } }{ Z } \angle \left( \varphi -\delta \right) -\frac { { E }_{ r } }{ Z } \angle \left( \varphi \right) \right) $$

↑Esは基準ベクトルではないので、フェーザー表示の偏角に注意

$${ P }_{ s }+j{ Q }_{ s }=\frac { 3{ { E }_{ s } }^{ 2 } }{ Z } \angle \left( \varphi \right) -\frac { 3{ E }_{ s }{ E }_{ r } }{ Z } \angle \left( \varphi +\delta \right) $$

$${ P }_{ s }+j{ Q }_{ s }=\frac { { { V }_{ s } }^{ 2 } }{ Z } \angle \left( \varphi \right) -\frac { V_{ s }{ V }_{ r } }{ Z } \angle \left( \varphi +\delta \right) $$

ここからは受電端のときと同じように偏角がφのところだけを式変形します。

$${ P }_{ s }+j{ Q }_{ s }=\left( \frac { { { V }_{ s } }^{ 2 } }{ Z } cos\varphi +j\frac { { { V }_{ s } }^{ 2 } }{ Z } sin\varphi \right) -\frac { V_{ s }{ V }_{ r } }{ Z } \angle \left( \varphi +\delta \right) $$

$${ P }_{ s }+j{ Q }_{ s }=\left( \frac { { { V }_{ s } }^{ 2 } }{ Z } ×\frac { R }{ Z } +j\frac { { { V }_{ s } }^{ 2 } }{ Z } ×\frac { X }{ Z } \right) -\frac { V_{ s }{ V }_{ r } }{ Z } \angle \left( \varphi +\delta \right) $$

$${ P }_{ s }+j{ Q }_{ s }=\frac { { { RV }_{ s } }^{ 2 } }{ { Z }^{ 2 } } +j\frac { X{ { V }_{ s } }^{ 2 } }{ { Z }^{ 2 } } -\frac { V_{ s }{ V }_{ r } }{ Z } \angle \left( \varphi +\delta \right) $$

$$\left( { P }_{ s }-\frac { { { RV }_{ s } }^{ 2 } }{ { Z }^{ 2 } } \right) +j\left( { Q }_{ s }-\frac { X{ { V }_{ s } }^{ 2 } }{ { Z }^{ 2 } } \right) =-\frac { V_{ s }{ V }_{ r } }{ Z } \angle \left( \varphi +\delta \right)$$

 

3.円の方程式の形を作りグラフ化する。

送電端電力の方程式
$${ \left( { P }_{ s }-\frac { { { RV }_{ s } }^{ 2 } }{ { Z }^{ 2 } } \right) }^{ 2 }+{ \left( { Q }_{ s }-\frac { X{ { V }_{ s } }^{ 2 } }{ { Z }^{ 2 } } \right) }^{ 2 }={ \left( \frac { V_{ s }{ V }_{ r } }{ Z } \right) }^{ 2 }$$

この方程式をグラフ化してみると下図のようになります。(\({V}_{r}>{V}_{s}\)として作っています)

 

受電端とほぼ同じで簡単でしたね。一応、送電端受電端円の半径が同じってところに注目しておくといいかも。

 

電力円線図の読み取り方

受電端の電力円線図について考察しましょう。(ここからがかなり難しいです…。)

まずは下図の電力円線図の特筆すべきA,B,Cの3点について考察します。

電力円線図は、受電端電圧と送電端電圧と線路インピーダンスが一定として考えているので、電力円線図の運転点は相差角δによって定まります。よって、δについて考えていきます。

説明の為に④式を式変形します。

$$P+jQ=\frac { { { V }_{ s }V }_{ r } }{ Z } \angle \left( \varphi -\delta \right) -\frac { { V_{ r } }^{ 2 } }{ Z } \angle \left( \varphi \right) …④$$

有効電力Pと無効電力Qに分けて考えます。

$$P=\frac { { { V }_{ s }V }_{ r } }{ Z } cos\left( \varphi -\delta \right) -\frac { { V_{ r } }^{ 2 } }{ Z } cos\left( \varphi \right)…⑤$$

$$Q=\frac { { { V }_{ s }V }_{ r } }{ Z } sin\left( \varphi -\delta \right) -\frac { { V_{ r } }^{ 2 } }{ Z } sin\left( \varphi \right)…⑥$$

δ=0としたとき(A点)

⑤⑥式にδ=0を代入して

$$P=\frac { { { RV }_{ s }V }_{ r } }{ { Z }^{ 2 } } -\frac { { RV_{ r } }^{ 2 } }{ { Z }^{ 2 } } $$

$$Q=\frac { { { XV }_{ s }V }_{ r } }{ { Z }^{ 2 } } -\frac { { XV_{ r } }^{ 2 } }{ { Z }^{ 2 } } $$

ここで\({V}_{s}={V}_{r}\)としたとき、P=0,Q=0となるので、δ=0としたときの運転点Aは原点を通る直線状に存在することが分かります。

※Vs,Vrの数値をいじることで円の半径を変化させていると考えると分かりやすいかも。

 

δ=δ’としたとき(B点)

特に特筆すべき事はありませんが、緑の線分が受電端の有効電力,ピンクの線分が受電端の無効電力(正なら遅れ)になります。

 

δ=φとしたとき(C点)

⑤⑥式にδ=φを代入して

$$P=\frac { { { V }_{ s }V }_{ r } }{ Z } cos\left( 0 \right) -\frac { { RV_{ r } }^{ 2 } }{ { Z }^{ 2 } } $$

$$Q=\frac { { { V }_{ s }V }_{ r } }{ Z } sin\left( 0 \right) -\frac { { XV_{ r } }^{ 2 } }{ { Z }^{ 2 } } $$

$$P=\frac { { { V }_{ s }V }_{ r } }{ Z } -\frac { { RV_{ r } }^{ 2 } }{ { Z }^{ 2 } } …⑥$$

$$Q=-\frac { { XV_{ r } }^{ 2 } }{ { Z }^{ 2 } }…⑦$$

このとき、電力円線図の方程式↓と⑥式⑦式を見比べると、(特に⑦式) 

$${ \left( P+\frac { { RV_{ r } }^{ 2 } }{ { Z }^{ 2 } } \right) }^{ 2 }+{ \left( Q+\frac { X{ V_{ r } }^{ 2 } }{ { Z }^{ 2 } } \right) }^{ 2 }={ \left( \frac { { { V }_{ s }V }_{ r } }{ Z } \right) }^{ 2 }$$

運転点Cは円の中心から真右にあることが分かります。

以上です!!!

ちなみに電力円線図の円の中心位置や大きさについてまとめた記事もありますのでこちらのページもご覧いただければと思います。

送電端と受電端の電力円線図から電力損失もグラフから求まるのですが・・・それも結構大変なのでこれはまた別の記事にまとめます。

大変お疲れさまでした。

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Posted by Lese