Δ-Y変換

2018年12月16日

ΔーY変換 

ΔーY変換とは、下図のようにΔ型に繋がれた負荷を、Y型に繋がれた負荷にすること。もしくは、Y型に繋がれた負荷を、Δ型に繋がれた負荷にすること

変換することでこの外部の回路に影響が出ないように変換する為、負荷の抵抗値が変わる。

3つの負荷が全て同じインピーダンスであるとき、平衡状態といい、異なるインピーダンスのときは不平衡状態という。電験3種の理論では、ほぼ平衡状態の負荷が出題される。

たまに不平衡の負荷が出題されるが、その時は電源に繋がっていなくて、負荷についてだけの出題になっていることがほとんどである。

 

平衡状態のΔーY変換

上図のように、平衡状態の場合、

point!
Y→Δにすることで抵抗が3倍になる。
その逆に、Δ→Yの場合は3分の1倍になります。
これが中々覚えられない人が多いと思いますが・・・
Y型をΔ型にすると中に空間が出来て大きくなりますね?
大きくなる→なので3倍になる。という風にイメージで覚えておくと覚えやすいです。
とりあえずΔは大きいのです。
 
 
抵抗やコイルは先ほどのようにΔ型にすることで3倍になりますが、コンデンサはΔ型にすると、下図のように3分の1倍になります。少しややこしいですが、コンデンサは抵抗やコイルとは違って逆になるということを覚えておきましょう。

 

不平衡状態のΔーY変換と公式の覚え方

最後に、不平衡状態の抵抗のΔーY変換をしましょう。

よく参考書などではRa・Rb・Rab・Rbcなどのサフィクス(添え字)を使って表しますが、ややこしいの下図のようにシンプルな文字で説明します。

さて、まずはa・b・cをそれぞれA・B・Cを使って表す公式をまとめます。(Y→Δ変換)

$$a=\frac { AB+BC+CA }{ C } \\ b=\frac { AB+BC+CA }{ B } \\ c=\frac { AB+BC+CA }{ A } $$

覚えにくいですよね!というわけで、覚え方を説明します。

平衡状態のときはY→Δにするときに3倍になっていました。

今回aの抵抗を求めるときにAとBとCを使いましたが、このA・B・Cが平衡状態として、A=B=C=Xと置いてみます。

$$a=\frac { AB+BC+CA }{ C } \\ a=\frac { { X }^{ 2 }+{ X }^{ 2 }+{ X }^{ 2 } }{ X } \\ a=\frac { 3{ X }^{ 2 } }{ X } \\ a=3X$$

このようになります。ちゃんと3倍になってますよね。

この事より、何が言いたいかというと、

aの抵抗を求める際に、A・B・Cの抵抗を用いて立式するとき、形としては

$$\frac { 3{ X }^{ 2 } }{ X } $$

必ずこのようになります。

なので、分子はどう考えてもAB+BC+CAにならざるを得ないわけです。(Aの2乗+Bの2乗+Cの2乗だとシンプルすぎますよね)

そして、分母はaの抵抗と対称の位置にあるCが来るわけです。

このように覚えることで、公式を一生忘れません。

なので、多少苦労してでも今書いたことを何とか理解してください。

 

では、ついでなのでA・B・Cをそれぞれa・b・cを使って表す公式を考えてみます。(Δ→Y変換)

まずはAを求めます。Δ→Yの場合、3分の1倍になるので平衡状態としての最終的な形は

$$A=\frac { { X }^{ 2 } }{ 3X } $$

このようになるはずです。

3XというのはX+X+Xから出来ているのでa+b+cのことですね。

Xの2乗はAと対称性のとれる位置の抵抗の積なのでa×bのことです。

よって

point!
$$A=\frac { ab }{ a+b+c } \\ B=\frac { ac }{ a+b+c } \\ C=\frac { bc }{ a+b+c }$$

このようになります。

ちょっとややこしいですが、僕はこんな感じで覚えて間違えることが無くなりました。

どうしても分からない場合は自力で覚えるしか無いと思いますが、Δにすると

$$\frac { 3{ X }^{ 2 } }{ X } $$

の形になることとか、Yにすると

$$\frac { { X }^{ 2 } }{ 3X } $$

の形になることくらいは覚えておくと、間違いが減るかと思います。

是非ご参考にしていただいてΔーY変換をマスターしてください。

頑張りましょう。

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